Solving inverse kinematics problems using an interval method

Resumen

El principal objectiu d'aquesta tesi és establir una base teòrica que permeti resoldre problemes cinemàtics inversos mitjançant mètodes d'intervals. La primera part de la tesi desenvolupa i formalitza una nova metodologia per a l'anàlisi de cadenes cinemàtiques espacials. Aquest enfoc es basa en l'estudi de la varietat d'automoviment del mecanisme esfèric ortogonal i en la seva relació amb el mecanisme de n-barres. El principal avantatge respecte a altres mètodes és la seva senzillesa i sobretot la seva generalitat, que permet el mateix tractament del problema per a quelsevol cadena cinemàtica, independentment del nombre d'elements o de la seva geometria. En la segona part de la tesi s'estudia la utilització de mètodes d'intervals per a la resolució de problemes cinemàtics. En primer lloc s'ha fet un estudi exhaustiu dels mètodes d'intervals ja existents per a la resolució de sistemes d'equacions no lineals. Tot seguit es desenvolupen mètodes ad hoc per al nostre problema i per a les equacions de tancament generals obtingudes en la primera part. En l'últim capítol es proposa un algoritme per a la resolució del problema cinemàtic invers basat en una combinació de mètodes d'intervals clàssics (mètodes de Newton) i els mètodes específics que s'han desenvolupat (talls directes i propagació d'intervals). L'algoritme està justificat amb detall, així com la seva implementació. Al final es presenten uns quants experiments amb resultats que avalen l'algoritme i es comparen amb altres mètodes. La resolució del problema cinemàtic invers s'ha basat històricament en dos mètodes principalment: els mètodes d'eliminació i els de continuació. L'alternativa mitjançant un mètode d'intervals que es proposa té diversos avantatges clars respecte als altres mètodes: és general per a qualsevol cadena cinemàtica de llaç simple, troba totes les solucions, evita problemes numèrics i d'arrodoniment i és simple d'implementar. No obstant, encara és més lent que els últims algoritmes basats en mètodes d'eliminació. Cal destacar que es tracta del primer treball que utilitza mètodes d'intervals per a problemes relacionats amb la robòtica. Els resultats obtinguts permeten avançar que els mètodes d'intervals seran una alternativa als mètodes d'eliminació i continuació per a problemes cinemàtics en el futur. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Summary This thesis constitutes an interesting approach to the kinematic analysis of spatial mechanisms. It establishes a theoretical basis for applying interval methods to the resolution of inverse kinematics problems. A short introduction describes the problem and states the objectives of the work. The previous work is described here concisely, with enough relevant references, but avoiding anything superfluous. The content of the thesis is divided into two naturally differentiated parts, corresponding to the kinematic analysis and to interval methods respectively. In the first part, a new general framework for the kinematic analysis of spatial mechanisms is developed. This approach is based on the self-motion manifold of the orthogonal spherical mechanism and the closely related n-bar mechanism, which is used to represent any kinematic loop. This part is very complete and formally structured with rigorous definitions, lemmas, theorems and their proofs. The second part of the thesis deals with interval methods. The first chapter of this part is devoted to survey the existing interval methods for solving systems of nonlinear equations. Clearness is used here in front of formalism, which makes it easier to get a general idea of the methods. The next chapter constitutes, the second main contribution of the thesis: the development of ad hoc interval methods for inverse kinematic problems. The proposed interval propagation based on spherical geometry is a smart idea, derived directly from a geometric interpretation derived in the first part. The last chapter proposes a general interval method for solving positional inverse kinematics problems, based on a classic interval Newton method, complemented with the specific cuts of the previous chapter. Some few examples are given, which give all the solutions. Using interval methods in kinematics is a novel idea and has not been seriously considered before. This thesis is a first important contribution herein, with important and promising results, but leaving still plenty of room for future work. Most probably, it will be a research focus in the near future.